Algoritmiska, intuitiva och formella aspekter av matematiken i dynamiskt samspel. En studie av hur studenter nyttjar sina begreppsuppfattningar inom matematisk analys

Algoritmiska, intuitiva och formella aspekter av matematiken i dynamiskt samspel. En studie av hur studenter nyttjar sina begreppsuppfattningar inom matematisk analys

Avhandlingens syfte är att studera hur studenter använder sina begreppsuppfattningar. Utgående från tidigare forskning om studenters begreppsuppfattningar, där kategoriseringar av missuppfattningar varit ett vanligt inslag, lyfter avhandlingen fram den potential som finns i studenters sätt att tolka den matematik de möter. Studenters förståelse av tröskelbegrepp inom matematisk analys studeras i två fallstudier. I en intervjustudie studeras hur studenter från ingenjörsutbildning tolkar begreppen gränsvärde och integral. I en problemlösningsstudie arbetar studenter från ett matematikprogram med en utmanande uppgift som innefattar begreppen funktion och derivata samt även inkluderar ett induktionsbevis. Med utgångspunkt från ett konstruktivistiskt perspektiv och en teori om kontextualisering har data analyserats med hjälp av intentionell analys. Resultaten visar att studenterna från matematikprogrammet utnyttjar en formell kontext där intuitiva idéer utgör viktiga inslag och där de också förmår utnyttja en växelverkan mellan intuitiva idéer och formella resonemang. Denna växelverkan har ett flertal funktioner: att kontrollera intuitiva uppfattningar, att skaffa nya utgångspunkter för problemlösningsprocessen, att ekonomisera resonemang och att driva arbetet vidare. Studenterna från ingenjörsutbildningen tolkar däremot det matematiska materialet i en algoritmisk kontext där procedurella kunskaper dominerar och beräkningsprocedurer utgör definierande egenskaper och en bas för förståelse av begreppen. Provocerande intervjufrågor öppnar emellertid för andra kontextualiseringar där begreppens egenskaper är mer framträdande. Dessa transformativa kontextskiften möjliggör en utveckling av begreppsuppfattningarna och hjälper studenterna att närma sig matematikens tankesätt och handlingsnormer.

Algorithmic, intuitive and formal aspects of mathematics in dynamic interplay: A study of students use of their conceptions in calculus

Focusing on the potentiality of students ways of treating a mathematical material this thesis aims to investigate how students use their conceptual understanding when working with mathematical tasks in calculus. Two case studies were carried out to explore students understanding of threshold concepts. The first study, an interview study, explored engineering students understanding of limit and integral. The second study, a problem solving study, involved students within a mathematics programme, working on a challenging task including the concepts function and derivative, requiring proof by induction. Drawing on a theory of contextualisation data were analysed within a constructivist research framework following the principles of intentional analysis. The results reveal that the students in the mathematics programme expressed their understanding in a formal context where also intuitive ideas played an important role. They used intuitive ideas and formal reasoning in a dynamic interplay with several functions: to control intuitive ideas, to offer a new basis of reasoning, to reduce the complexity of the problem and to push the problem solving process forward. The engineering students expressed their conceptions in an algorithmic context, in which procedural knowledge was predominant and the operations of the concepts were seen as defining features and a basis for understanding. However, faced with probing questions, the students appeared to shift to a contextualisation foregrounding ideas relating to conceptual dimensions of calculus. These contextual shifts display the transformative aspect of threshold concepts allowing the development of conceptions and students awareness of ways of thinking and practising in mathematics.