Modes of Mathematical Modelling. An analysis of how modelling is used and interpreted in and out of school settings

Publicerad:2014-01-30

Uppdaterad:2015-05-10

I skolans läroplaner är ett av huvudargumenten för att lära sig matematik att kunskaper i matematik är användbara utanför skolan, det vill säga i vardags-, samhälls- och yrkeslivet. Ett område inom skolmatematiken som tydligt kopplar samman matematik i och utanför skolan är matematisk modellering, vilket även avspeglas i skolans kursplaner där det lyfts fram som ett centralt begrepp. Peter Frejds avhandling behandlar elevers, lärares och experters erfarenheter av att arbeta med matematisk modellering i och utanför skolan.

Författare

Peter Frejd

Handledare

Christer Bergsten, professor, Linköpings universitet. Jonas Ärlebäck Bergman, Dr. Linköpings universitet.

Opponent

Rudolf Strässer, professor emeritus, Justus-Liebig-Universität Giessen, Tyskland.

Disputerat vid

Linköpings universitet

Disputationsdag

2014-02-14

Titel (eng)

Modes of Mathematical Modelling. An analysis of how modelling is used and interpreted in and out of school settings

Institution

Tekniska högskolan

Abstrakt

Avhandlingen består av en sammanläggning av fem artiklar samt en litteraturöversikt av forskningsområdet och en diskussion av använda metodologiska ansatser (kappa). Den övergripande struktur som binder samman de fem artiklarna bygger på begreppet ’didaktisk transposition’, utvecklat av Yves Chevallard. Denna ’transposition’ innebär att kunskap som undervisas i skolan har en tidigare existens utanför skolan och kan ses som en produkt av en process där den senare förändras och förvandlas (transponeras) till ’skolmatematik’ genom olika etapper, från institutionell etablerad kunskap (kopplat till den vetenskapliga disciplinen matematik), via läroplan och läromedel till vad som undervisas i klassrummet och bedöms (i t.ex. prov), till elevernas egna kunskaper.

De fem artiklarna belyser dessa etapper med fokus på matematisk modellering genom att undersöka: 1. Hur arbetar professionella modellerare med matematisk modellering i sitt yrke? 2. Hur och vad presenteras om matematisk modellering i läroböcker? 3. Hur och vad undervisar lärare om matematisk modellering? 4. Vilka metoder används för att bedöma matematisk modellering och vad bedöms? 5. Hur arbetar elever när de formulerar matematiska modeller?

I avhandlingen genomförs analyser av intervjuer med professionella modellerare och lärare, innehållsanalyser av läroböcker och av forskningslitteratur kring bedömning, samt diskursanalys av elevsamarbete kring uppgifter i matematisk modellering. Resultatet ger en osammanhängande bild av den didaktiska transpositionen av matematisk modellering i svensk skolmatematik. Själva begreppet matematisk modellering ges en varierande innebörd både inom och utanför skolan, vilket gör det komplext att diskutera och hantera i undervisningssammanhang. Professionell matematisk modellering i yrkeslivet och lärares och elevers arbete med matematiska modeller i ett klassrum är helt skilda typer av verksamheter, då syfte och konsekvenser av användningen inte är förenliga mellan de två institutionerna. Dessutom bygger professionella modellerare sina modeller utifrån många års erfarenheter, avancerade kunskaper i matematik, samt kunskaper om programmering och tekniska hjälpmedel som saknas i skolan.

Läroböcker beskriver matematisk modellering på mycket olika sätt beroende på läroboksserie. Överlag lyfter dock inga av de undersökta läromedlen fram matematisk modellering som en central aktivitet. Inte heller de intervjuade lärarna beskriver matematisk modellering som en viktig del i matematikundervisningen. De kopplar istället ofta matematisk modellering till fysik och ger endast ett fåtal exempel på aktiviteter där de arbetar med modellering. Analysen av forskningslitteratur kring bedömning visar att kunskaper i modellering inte enkelt kan utvärderas med skriftliga prov.

Det som lyfts fram för att kunna bedöma modellering som en helhet är att använda projektarbete. Studien av elevers arbete med en modelleringsuppgift visar hur de formulerar matematiska modeller genom att känna igen en situation och använda sig av redan kända modeller. Dessa modeller anpassas till situationen genom att eleverna förhandlar med varandra om hur de ska tillämpas. Här är det också centralt hur eleverna använder sig av sina kunskaper inom andra kunskapsområden än matematik samt sina tidigare mer personliga erfarenheter.

Resultatens implikationer för undervisning och lärande antyder att läraren bör vara tydlig med att redogöra explicit för sig själv och för sina elever den tolkning av begreppet matematisk modellering som ska bedömas och användas i klassrummet, då det finns många beskrivningar av begreppet. Synen på modellering som används i klassrummet påverkar också i vilken utsträckning läromedel måste kompletteras och vilka metoder som kan används vid bedömning. Lyfter till exempel läraren fram modellering som en helhet och försöker efterlikna professionella modellerares arbetssätt, så visar denna avhandling att undervisningstid kan ges till projektarbeten som innehåller grupparbete, kommunikation och tekniska hjälpmedel. Ett exempel på projekt beskrivs i avhandlingen kopplat till politiska diskussioner angående miljö och ekonomi, då många beslut i dagens samhälle bygger på matematiska modeller. Syftet med projektet är både att skapa förutsättningar för att utveckla en modelleringsförmåga men också att förbereda eleverna att kunna granska beslut, skapa opinion och bli kritiska demokratiska medborgare.

Modes of Mathematical Modelling. An analysis of how modelling is used and interpreted in and out of school settings

The relevance of using mathematics in and for out-of-school activities is one main argument for teaching mathematics in education. Mathematical modelling is considered as a bridge between the mathematics learned and taught in schools and the mathematics used at the workplace and in society and it is also a central notion in the present Swedish mathematical syllabus for upper secondary school. This doctoral thesis reports on students’, teachers’ and modelling experts’ experiences of, learning, teaching and working with mathematical modelling in and out of school settings and their interpretations of the notion of mathematical modelling.

The thesis includes five papers and a preamble, where the papers are summarised, analysed, and discussed. Different methods are being used in the thesis such as video analysis of students’ collaboration working with modelling problem, interview investigations with teachers and expert modellers, content analysis of textbooks and literature review of modelling assessment. Theoretical aspects concerning mathematical modelling and the didactic transposition of modelling are examined.

The results presented in this thesis provide a fragmented picture of the didactic transposition of mathematical modelling in school mathematics in Sweden. There are significant differences in how modellers, teachers and students work with modelling in different practices in terms of the goal with the modelling activity, the risks involved in using the models, the use of technology, division of labour and the construction of mathematical models. However, there are also similarities identified described as important aspects of modelling work in the different practices, such as communication, collaboration, projects, and the use of applying and adapting pre-defined models. Students, teachers and modellers expressed a variety of descriptions of what modelling means. The variety of descriptions in the workplace is not surprising, since their working approaches are quite different, but it makes the notion difficult to transpose into school practise. Questions raised are if it is unrealistic to search for a general definition and if it is really necessary to have a general definition. The consequence, for anyone how uses the notion, is to always be explicit with the meaning.

An implication for teaching is that modelling as it shows in the workplace can never be fully ‘mapped’ in the mathematical classroom. However, it may be possible to ‘simulate’ such activity. Working with mathematical modelling in projects is suggested to simulate workplace activities, which include collaboration and communication between different participants. The modelling problems may for example involve economic and environmental decisions, to prepare students to be critically aware of the use of mathematics in private life and in society, where many decisions are based on mathematical models.